Utilisation intelligente de l'IA pour un élève de seconde - Suzy Dornat- Hansmetzger (2B)

 

J'ai demandé a chatgpt de me donner des exercices de maths sur les vecteurs et ensuite de me donner la correction avec les explications une fois que j'aurais fini.

 

L'échange que j'ai eu avec l'IA:

-peut tu me donner des exercice de maths sur les vecteurs de niveau seconde et me donner les réponses avec explication quand je te dirais fini

-Bien sûr ! Voici quelques exercices sur les vecteurs pour le niveau seconde :

Exercice 1 : Addition de vecteurs

Soit les vecteurs $\vec{u} = (3, -2)$ et $\vec{v} = (-1, 4)$.

1. Calcule la somme $\vec{u} + \vec{v}$.
2. Calcule la différence $\vec{u} - \vec{v}$.

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Exercice 2 : Coordonnées d’un vecteur

Soit $A(2, 3)$ et $B(5, 7)$.

1. Détermine les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
2. Vérifie si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont opposés.

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Exercice 3 : Vecteur et colinéarité

Soit $\vec{u} = (4, 2)$ et $\vec{v} = (2, 1)$.

1. Détermine si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
2. Si oui, trouve le coefficient $k$ tel que $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$.

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Exercice 4 : Vecteur et parallèle

Soit $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (2, 4)$.

1. Vérifie si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont parallèles.
2. Si oui, détermine le rapport entre les coordonnées de $\vec{v}$ et $\vec{u}$.

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Exercice 5 : Norme d’un vecteur

Soit $\vec{u} = (3, 4)$.

1. Calcule la norme de $\vec{u}$.
2. Trouve un vecteur unitaire $\vec{u_1}$ de même direction que $\vec{u}$.

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Quand tu es prêt à voir les solutions, dis-moi "fini" et je t'expliquerai les réponses !

-fini

-Voici les solutions des exercices avec les explications détaillées.

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Exercice 1 : Addition de vecteurs

1. Calcule la somme $\vec{u} + \vec{v}$.

Soit $\vec{u} = (3, -2)$ et $\vec{v} = (-1, 4)$. On additionne les coordonnées correspondantes de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$$\vec{u} + \vec{v} = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)$$

2. Calcule la différence $\vec{u} - \vec{v}$.

De même, pour la différence, on soustrait les coordonnées correspondantes :

$$\vec{u} - \vec{v} = (3 - (-1), -2 - 4) = (4, -6)$$

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Exercice 2 : Coordonnées d’un vecteur

1. Détermine les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ se calculent en soustrayant les coordonnées de $A$ de celles de $B$ :

$$\overrightarrow{AB} = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4)$$

2. Vérifie si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont opposés.

Les coordonnées de $\overrightarrow{BA}$ sont :

$$\overrightarrow{BA} = (2 - 5, 3 - 7) = (-3, -4)$$

On observe que $\overrightarrow{BA} = -1 \cdot \overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont bien opposés.

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Exercice 3 : Vecteur et colinéarité

1. Détermine si les vecteurs $\vec{u} = (4, 2)$ et $\vec{v} = (2, 1)$ sont colinéaires.

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple scalaire de l'autre. Vérifions cela :

$$\frac{4}{2} = 2 \quad \text{et} \quad \frac{2}{1} = 2$$

Les rapports des coordonnées sont égaux, donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

2. Trouve le coefficient $k$ tel que $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$.

Puisque $\vec{u}$ est un multiple de $\vec{v}$, on peut écrire $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$. Il suffit de prendre le rapport des coordonnées :

$$k = \frac{4}{2} = 2$$

Donc $\vec{u} = 2 \cdot \vec{v}$.

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Exercice 4 : Vecteur et parallèle

1. Vérifie si $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (2, 4)$ sont parallèles.

Les vecteurs sont parallèles si l'un est un multiple scalaire de l'autre. Vérifions cela :

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Les rapports des coordonnées sont égaux, donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont parallèles.

2. Détermine le rapport entre les coordonnées de $\vec{v}$ et $\vec{u}$.

Le rapport est $\frac{2}{1} = 2$ et $\frac{4}{2} = 2$. Ainsi, $\vec{v} = 2 \cdot \vec{u}$.

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Exercice 5 : Norme d’un vecteur

1. Calcule la norme de $\vec{u} = (3, 4)$.

La norme d’un vecteur $\vec{u} = (x, y)$ est donnée par la formule :

$$\| \vec{u} \| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Ici, $x = 3$ et $y = 4$, donc :

$$\| \vec{u} \| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

2. Trouve un vecteur unitaire $\vec{u_1}$ de même direction que $\vec{u}$.

Un vecteur unitaire a une norme égale à 1. Pour obtenir un vecteur unitaire $\vec{u_1}$ de même direction que $\vec{u}$, on divise chaque coordonnée de $\vec{u}$ par sa norme $\| \vec{u} \|$ :

$$\vec{u_1} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)$$

Ainsi, $\vec{u_1}$ est un vecteur unitaire de même direction que $\vec{u}$.

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N'hésite pas si tu as des questions ou si tu veux plus d'exercices !

mots clés: Vecteur, Coordonnées, Addition de vecteurs, Différence de vecteurs, Colinéarité, Parallèle, Norme d’un vecteur

Auteur: Suzy 2B